Ero keskinäisesti poissulkevien ja itsenäisten tapahtumien välillä

Keskinäisesti poissulkevat vs riippumattomat tapahtumat

Ihmiset sekoittavat usein toisiaan poissulkevien tapahtumien käsitteen itsenäisiin tapahtumiin. Itse asiassa nämä ovat kaksi eri asiaa.

Olkoon A ja B mitä tahansa kahta tapahtumaa, jotka liittyvät satunnaiseen kokeeseen E. P (A): ta kutsutaan ”A: n todennäköisyydeksi”. Samoin voimme määritellä B: n todennäköisyyden P (B): ksi, A: n tai B: n todennäköisyydeksi P (A∪B) ja A: n ja B: n todennäköisyyden P: ksi (A∩B). Sitten P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).

Kahden tapahtuman, jonka sanottiin olevan toisiaan poissulkevia, jos yhden tapahtuman esiintyminen ei vaikuta toiseen. Toisin sanoen niitä ei voi esiintyä samanaikaisesti. Siksi, jos kaksi tapahtumaa A ja B ovat toisiaan poissulkevia, niin A∩B = ∅ ja siten, tämä merkitsee P (A∪B) = P (A) + P (B).

Olkoon A ja B kaksi tapausta näytetilassa S. A: n ehdollinen todennäköisyys, kun otetaan huomioon, että B on tapahtunut, merkitään P (A | B): lla ja määritellään; P (A | B) = P (A∩B) / P (B), mikäli P (B)> 0. (muuten sitä ei ole määritelty.)

Tapahtuman A sanotaan olevan riippumaton tapahtumasta B, jos A: n tapahtumisen todennäköisyyteen ei vaikuta se, onko B tapahtunut vai ei. Toisin sanoen tapahtuman B lopputuloksella ei ole vaikutusta tapahtuman A lopputulokseen. Siksi P (A | B) = P (A). Samoin B on riippumaton A: sta, jos P (B) = P (B | A). Voimme siis päätellä, että jos A ja B ovat itsenäisiä tapahtumia, niin P (A∩B) = P (A) .P (B)

Oletetaan, että numeroitu kuutio on rullattu ja reilu kolikko käännetty. Olkoon A tapahtuma, joka saa pään ja B on tapahtuma, joka rullaa parillisen luvun. Sitten voimme päätellä, että tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, koska yhden tuloksella ei ole vaikutusta toisen tulokseen. Siksi P (A∩B) = P (A) .P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Koska P (A∩B) ≠ 0, A ja B eivät voi olla toisiaan poissulkevia.

Oletetaan, että urna sisältää 7 valkoista ja 8 mustaa marmoria. Määritä tapahtuma A valkoisen marmorin piirtämiseksi ja tapahtuma B mustan marmorin piirtämiseksi. Jos oletetaan, että jokainen marmori korvataan sen jälkeen kun sen väri on merkitty, P (A) ja P (B) ovat aina samat, riippumatta siitä kuinka monta kertaa vedämme urnasta. Marmorien korvaaminen tarkoittaa, että todennäköisyydet eivät muutu piirtämästä piirtämiseen riippumatta siitä, minkä värin valitsimme viimeisellä arvonnalla. Siksi tapahtuma A ja B ovat riippumattomia.

Kuitenkin, jos marmorit piirrettiin ilman korvaamista, niin kaikki muuttuu. Tämän oletuksen mukaan tapahtumat A ja B eivät ole riippumattomia. Valkoisen marmorin piirtäminen ensimmäisen kerran muuttaa todennäköisyyksiä mustan marmorin piirtämiseksi toiseen piirtoon ja niin edelleen. Toisin sanoen jokaisella arvonnalla on vaikutus seuraavaan tasapeliin, joten yksittäiset tasaukset eivät ole riippumattomia.