Ero assosiatiivisen ja kommutatiivisen välillä

Yhdistävä vs. kommutatiivinen
 

Päivittäisessä elämässämme meidän on käytettävä numeroita aina, kun tarvitsemme mittaa jotain. Ruokakaupassa, huoltoasemalla ja jopa keittiössä meidän on lisättävä, vähennettävä ja kerrottava kaksi tai useampia määriä. Suoritamme käytännöstämme nämä laskelmat melko vaivatta. Emme koskaan huomaa tai kyseenalaista miksi teemme näitä toimintoja tällä tietyllä tavalla. Tai miksi näitä laskelmia ei voida tehdä eri tavalla. Vastaus on piilotettu tavalla, jolla nämä toiminnot määritetään algebran matemaattisessa kentässä.

Algebrassa operaatio, joka sisältää kaksi suuruutta (kuten lisäys), määritellään binaarioperaatioksi. Tarkemmin sanottuna se on operaatio kahden elementin välillä joukosta ja näitä elementtejä kutsutaan ”operandiksi”. Monet matematiikan operaatiot, mukaan lukien aikaisemmin mainitut aritmeettiset operaatiot sekä joukkoteorian, lineaarisen algebran ja matemaattisen logiikan kohdat, voidaan määritellä binaarioperaatioiksi.

On olemassa joukko tiettyä binaaritoimintaa koskevia sääntöjä. Assosiatiiviset ja kommutatiiviset ominaisuudet ovat binaaritoimintojen kaksi perusominaisuutta.

Lisätietoja kommutatiivisesta omaisuudesta

Oletetaan, että elementeille suoritetaan jokin binaaritoiminto, jota merkitään symbolilla ⊗ ja B. Jos operandien järjestys ei vaikuta operaation tulokseen, operaation sanotaan olevan kommutatiivinen. ts. jos ⊗ B = B ⊗ sitten operaatio on kommutatiivinen.

Aritmeettisten operaatioiden summaaminen ja kertoaminen ovat kommutatiivisia. Liitettyjen tai kerrottujen numeroiden järjestys ei vaikuta lopulliseen vastaukseen:

+ B = B +     ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9

× B = B ×      ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20

Mutta jaon tapauksessa muutos järjestyksessä antaa toisen vastavuoroisuuden, ja vähentämisessä muutos antaa toisen negatiivisen. Siksi,

- B ≠ B -      4 - 5 = -1 ja 5-4 = 1

÷ B ≠ B ÷      ⇒ 4 ÷ 5 = 0,8 ja 5 ÷ 4 = 1,25 [tässä tapauksessa ,B ≠ 1 ja 0]

Itse asiassa vähentämisen sanotaan olevan kommutatiivista; missä - B = - (B - ).

Myös loogiset yhteydet, konjunktio, disjunktio, implikaatio ja vastaavuus ovat myös kommutatiivisia. Totuustoiminnot ovat myös kommutatiivisia. Asetetut operaatioliitto ja risteys ovat kommutatiivisia. Lisäys ja vektorien skalaarituote ovat myös kommutatiivisia.

Mutta vektorien vähennys ja vektorituote eivät ole kommutatiivisia (kahden vektorin vektorituote on antikommutatiivinen). Matriisin lisäys on kommutatiivinen, mutta kertolasku ja vähennys eivät ole kommutoivia. (Kahden matriisin kertominen voi olla kommutatiivinen erityistapauksissa, kuten matriisin kertominen käänteisellä tai identiteettimatriisilla; mutta matriisit eivät ehdottomasti ole kommutatiivisia, jos matriisit eivät ole samankokoisia)

Lisätietoja yhdistyvästä omaisuudesta

Binaarioperaation sanotaan olevan assosiatiivista, jos suoritusjärjestys ei vaikuta tulokseen, kun operaattorin kaksi tai useampi esiintyminen on läsnä. Mieti elementtejä A, B ja C ja binaaritoiminto ⊗. Operaation ⊗ sanotaan olevan assosiatiivista, jos

⊗ B ⊗ C = ⊗ (B ⊗ C) = (⊗ B) ⊗ C

Perusaritmeettisista funktioista vain summaus ja kertolasku ovat assosiatiivisia.

+ (B + C) = (+ B) + C     ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12

× (B × C) = (× B) × C     ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60

Vähennys ja jako eivät ole assosiatiivisia;

- (B - C) ≠ (- B) - C     4 - (5 - 3) = 2 ja (5 - 4) - 3 = -2

÷ (B ÷ C) ≠ (÷ B) ÷ C     = 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 ja (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666

Loogisten yhteyksien disjunktio, konjunktio ja ekvivalenssi ovat assosiatiivisia, samoin kuin asetetut operaatioliitot ja leikkauspisteet. Matriisi ja vektorien lisäys ovat assosiatiivisia. Vektorien skalaarituote on assosiatiivinen, mutta vektorituote ei ole. Matriisin kertolasku on assosiatiivinen vain erityisissä olosuhteissa.

Mikä on ero kommutatiivisen ja assosiatiivisen omaisuuden välillä??

• Sekä assosiatiivinen ominaisuus että kommutatiivinen ominaisuus ovat binaaritoimintojen erityisominaisuuksia, ja jotkut tyydyttävät ne, toiset eivät.

• Nämä ominaisuudet voidaan nähdä monenlaisissa algebrallisissa operaatioissa ja muissa matemaattisissa binaarioperaatioissa, kuten leikkaus ja liitto joukko-teoriassa tai loogisissa liitännöissä..

• Kommutatiivisen ja assosiatiivisen erotuksena on, että kommutatiivisessa ominaisuudessa todetaan, että elementtien järjestys ei muuta lopputulosta, kun taas assosiatiivisessa ominaisuudessa todetaan, että operaation suorittamisjärjestys ei vaikuta lopulliseen vastaukseen..