Ero Riemann Integralin ja Lebesgue Integralin välillä

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

Integrointi on pääaihe laskennassa. Laajemmassa merkityksessä integraatiota voidaan pitää erilaistumisen käänteisenä prosessina. Kun mallinnat reaalimaailman ongelmia, on helppo kirjoittaa lausekkeita, joihin liittyy johdannaisia. Tällaisessa tilanteessa integrointioperaatio vaaditaan funktion löytämiseksi, joka antoi tietyn johdannaisen.

Toisesta näkökulmasta integrointi on prosessi, joka summaa funktion ƒ (x) ja δx, jossa δx pyrkii olemaan tietty raja. Siksi käytämme integraatiosymbolia as. Symboli ∫ on itse asiassa se, mitä saamme venyttämällä s-kirjainta viittaamaan summaan.

Riemann Integral

Tarkastellaan funktiota y = ƒ (x). Y: n integraali välillä ja b, missä ja b kuuluvat joukkoon x, kirjoitetaan _b∫ƒ (x) dx = [F(X)]_→b = F(b) - F(). Tätä kutsutaan a: n ja b: n välisen yksiarvoisen ja jatkuvan funktion y = ƒ (x) ehdottomaksi integraaliksi. Tämä antaa käyrän alla olevan alueen välillä ja b. Tätä kutsutaan myös Riemannin integraaliksi. Riemann-integraalin loi Bernhard Riemann. Jatkuvan funktion Riemann-integraali perustuu Jordanin mittaan, joten se määritellään myös funktion Riemann-summien rajaksi. Suljetulla aikavälillä määritetyn todellisen arvon funktion funktion Riemann-integraali suhteessa osioon x₁, x₂,…, X_n määritetty aikaväleillä [a, b] ja t₁, T₂,…, T_n, missä x_minä ≤ t_minä ≤ x_{i + 1} jokaiselle i ε 1, 2,…, n Riemann-summa määritetään Σ: ksi_{i = o arvoon n-1} ƒ (t_minä) (X_{i + 1} - x_minä).

Lebesgue Integral

Lebesgue on toinen integraalilaji, joka kattaa monenlaisia ​​tapauksia kuin Riemannin integraali. Henrik Lebesgue otti lebesgue-integraalin käyttöön vuonna 1902. Legesgue-integraatiota voidaan pitää Riemann-integraation yleistyksenä..

Miksi meidän on tutkittava toinen integraali?

Tarkastellaan ominaisfunktiota ƒ_{A (x) = 0, jos, x ei ε A}^{1, jos, x ε A} sarjassa A. Sitten äärellinen lineaarinen yhdistelmä ominaisfunktioita, joka määritellään F(x) = Σ a_minäƒE_minä(x) kutsutaan yksinkertaiseksi funktioksi, jos E_minä on mitattavissa jokaiselle i: lle. Lebesgue - integraali F(x) yli E on merkitty _E∫ ƒ (x) dx. Toiminto F(x) ei ole Riemannin integroitavissa. Siksi Lebesgue-integraali on uudelleenlause Riemann-integraali, jolla on joitain rajoituksia integroitaville toiminnoille.