Ero satunnaismuuttujien ja todennäköisyysjakauman välillä

Satunnaiset muuttujat vs todennäköisyysjakauma

Tilastolliset kokeet ovat satunnaisia ​​kokeita, jotka voidaan toistaa määräämättömästi tunnetulla tulosjoukolla. Sekä satunnaismuuttujat että todennäköisyysjakaumat liittyvät tällaisiin kokeisiin. Jokaiselle satunnaismuuttujalle on liittyvä todennäköisyysjakauma, jonka määrittelee funktio, jota kutsutaan kumulatiiviseksi jakautumisfunktioksi.

Mikä on satunnaismuuttuja?

Satunnaismuuttuja on toiminto, joka antaa numeeriset arvot tilastollisen kokeen tuloksille. Toisin sanoen, se on funktio, joka määritetään tilastollisen kokeen näytetilasta todellisten lukujen joukkoon.

Harkitse esimerkiksi satunnaista kokeilua kolikon kääntämisestä kahdesti. Mahdollisia tuloksia ovat HH, HT, TH ja TT (H - päät, T - tarinat). Olkoon muuttuja X kokeessa havaittujen päiden lukumäärä. Sitten X voi ottaa arvot 0, 1 tai 2, ja se on satunnaismuuttuja. Tässä satunnaismuuttuja X kartoittaa joukon S = HH, HT, TH, TT (näytetila) joukkoon 0, 1, 2 siten, että HH kartoitetaan 2: ksi, HT: ksi ja TH: ksi. merkitään 1: ksi ja TT: n 0: ksi. Funktionäytössä tämä voidaan kirjoittaa muodolla X: S → R missä X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 ja X ( TT) = 0.

Satunnaismuuttujia on kahta tyyppiä: diskreetti ja jatkuva, joten satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen lukumäärä on korkeintaan laskettavissa tai ei. Edellisessä esimerkissä satunnaismuuttuja X on diskreetti satunnaismuuttuja, koska 0, 1, 2 on äärellinen joukko. Harkitse nyt tilastollista kokeilua luokan oppilaiden painojen löytämiseksi. Olkoon Y sattumanvarainen muuttuja, joka määritetään opiskelijan painona. Y voi ottaa minkä tahansa todellisen arvon tietyllä aikavälillä. Siksi Y on jatkuva satunnaismuuttuja.

Mikä on todennäköisyysjakauma?

Todennäköisyysjakauma on funktio, joka kuvaa todennäköisyyttä, että satunnaismuuttuja ottaa tietyt arvot.

Kumulatiiviseksi jakelufunktioksi (F) kutsuttu funktio voidaan määritellä todellisten lukujen joukosta todellisten lukujen joukkoon muodossa F (x) = P (X ≤ x) (X: n todennäköisyys on pienempi tai yhtä suuri kuin x) jokainen mahdollinen tulos x. Nyt X: n kumulatiivinen jakelufunktio ensimmäisessä esimerkissä voidaan kirjoittaa F (a) = 0, jos a<0; F(a)=0.25, if 0≤a<1; F(a)=0.75, if 1≤a<2 and F(a)=1, if a≥2.

Diskreetin satunnaismuuttujan tapauksessa funktio voidaan määritellä mahdollisten tulosten joukosta todellisten lukujen joukkoon siten, että ƒ (x) = P (X = x) (X: n todennäköisyys on x) jokaiselta mahdolliselta tulokselta x. Tätä erityistä funktiota ƒ kutsutaan satunnaismuuttujan X todennäköisyysmassifunktioksi. Nyt X: n todennäköisyysmassifunktio ensimmäisessä erityisessä esimerkissä voidaan kirjoittaa muodossa ƒ (0) = 0,25, ƒ (1) = 0,5, ƒ (2) = 0,25, ja muuten ƒ (x) = 0. Siten todennäköisyysmassofunktio yhdessä kumulatiivisen jakautumistehtävän kanssa kuvaa X: n todennäköisyysjakaumaa ensimmäisessä esimerkissä.

Jatkuvien satunnaismuuttujien tapauksessa funktio, jota kutsutaan todennäköisyystiheysfunktioksi (ƒ), voidaan määritellä muodossa ƒ (x) = dF (x) / dx jokaiselle x: lle, missä F on jatkuvan satunnaismuuttujan kumulatiivinen jakelufunktio. On helppo nähdä, että tämä funktio tyydyttää ∫ƒ (x) dx = 1. Todennäköisyystiheysfunktio yhdessä kumulatiivisen jakautumistoiminnon kanssa kuvaa jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumaa. Esimerkiksi normaalijakauma (joka on jatkuva todennäköisyysjakauma) kuvataan todennäköisyystiheysfunktiolla ƒ (x) = 1 / √ (2πσ)²) e ^ ([(x-µ)]²/ (2σ²)).