Ero logaritmisen ja eksponentiaalisen välillä

Logaritminen vs eksponentiaalinen | Eksponentiaalinen funktio vs. logaritminen funktio
 

Funktiot ovat yksi tärkeimmistä matemaattisten kohteiden luokista, joita käytetään laajasti melkein kaikilla matematiikan osa-alueilla. Koska heidän nimensä viittaavat sekä eksponentiaalifunktioon että logaritmiseen funktioon, ovat kaksi erityistoimintoa.

Toiminto on kahden joukon välinen suhde, joka on määritelty siten, että jokaisessa ensimmäisen ryhmän elementissä arvo, joka vastaa sitä toisessa ryhmässä, on ainutlaatuinen. Olkoon ƒ joukosta määritetty toiminto asetettu B. Sitten jokaiselle x: lle ε , symboli ƒ (x) tarkoittaa sarjan ainutlaatuista arvoa B joka vastaa x: tä. Sitä kutsutaan x: n kuvaksi ƒ: n alla. Siksi suhde ƒ alkaen osaksi B on funktio, jos ja vain jos, jokaiselle x: lle. A ja y . A, jos x = y, niin ƒ (x) = ƒ (y). Setti kutsutaan funktion verkkotunnukseksi ƒ, ja se on joukko, jossa funktio määritetään.

Mikä on eksponentiaalinen funktio?

Eksponentiaalifunktio on funktio, jonka antaa ƒ (x) = e^x, missä e = lim (1 + 1 / n) ⁿ (≈ 2 718…) ja on transsendenttinen irrationaalinen luku. Yksi funktion erikoisuuksista on, että funktion johdannainen on sama kuin se; ts. kun y = e^x, dy / dx = e^x. Lisäksi funktio on kaikkialla jatkuvasti kasvava funktio, jolla on x-akseli asymptootti. Siksi toiminto on myös yksi-yksi. Jokaiselle x: lle ϵ R, meillä on se e^x> 0, ja voidaan osoittaa, että se on päällä R⁺. Se seuraa myös perusidentiteettiä e^{x + y} = e^x.e^y ja e⁰ = 1. Toiminto voidaan esittää myös käyttämällä sarjanlaajennusta, joka annetaan 1 + x / 1! + x²/ 2! + x³/ 3! +… + Xⁿ/ N! + ...

Mikä on logaritminen funktio?

Logaritminen funktio on käänteinen eksponentiaalifunktiolle. Koska eksponentiaalifunktio on yksi-yhteen ja päälle R⁺, funktio g voidaan määritellä positiivisten reaalilukujen joukosta todellisten lukujen joukkoon, jotka annetaan g (y) = x, jos ja vain jos, y = e^x. Tätä funktiota g kutsutaan logaritmiseksi funktioksi tai yleisimmin luonnolliseksi logaritmiksi. Sitä merkitään g (x) = log e^x = ln x. Koska se on eksponentiaalisen funktion käänteinen, jos otetaan eksponentiaalisen funktion kuvaajan heijastus linjan y = x yli, niin meillä on logaritmisen funktion kuvaaja. Siten funktio on asymptoottinen y-akselille.

Logaritminen funktio seuraa joitain perussääntöjä, joista ln xy = ln x + ln y, ln x / y = ln x - ln y ja ln xy = y ln x ovat tärkeimmät. Tämä on myös kasvava toiminto, ja se on jatkuvaa kaikkialla. Siksi se on myös yksi-yksi. Voidaan osoittaa, että se on päällä R.