Ero lineaarisen ja epälineaarisen yhtälön välillä

Lineaarinen yhtälö vs. epälineaarinen yhtälö

Matematiikassa algebralliset yhtälöt ovat yhtälöitä, jotka muodostetaan käyttämällä polynomeja. Erityisesti kirjoitettuna yhtälöt ovat muodossa P (x) = 0, missä x on n tuntemattoman muuttujan vektoria ja P on polynomi. Esimerkiksi P (x, y) = 4x⁵ + xy³ + y + 10 = 0 on kahden nimenomaisesti kirjoitetun muuttujan algebrallinen yhtälö. Myös (x + y)³ = 3x²y - 3zy⁴ on algebrallinen yhtälö, mutta implisiittisessä muodossa ja se tulee muotoon Q (x, y, z) = x³ + y³ + 3XY, UK² +3zy⁴ = 0, kun se on kirjoitettu nimenomaisesti.

Tärkeä ominaisuus algebralliselle yhtälölle on sen aste. Se on määritelty yhtälössä esiintyvien termien suurin voima. Jos termi koostuu kahdesta tai useammasta muuttujasta, kunkin muuttujan eksponenttien summan katsotaan olevan termi. Huomaa, että tämän määritelmän mukaan P (x, y) = 0 on astetta 5, kun taas Q (x, y, z) = 0 on astetta 5.

Lineaariset yhtälöt ja epälineaariset yhtälöt ovat kaksiosaisia, jotka on määritelty algebraisten yhtälöjoukkojen joukossa. Yhtälön aste on tekijä, joka erottaa ne toisistaan.

Mikä on lineaarinen yhtälö?

Lineaarinen yhtälö on asteen 1 algebrallinen yhtälö. Esimerkiksi 4x + 5 = 0 on yhden muuttujan lineaarinen yhtälö. x + y + 5z = 0 ja 4x = 3w + 5y + 7z ovat vastaavasti 3 ja 4 muuttujan lineaariset yhtälöt. Yleensä n muuttujan lineaarinen yhtälö on muodossa m₁x₁ + m₂x₂ +… + M_n-1x_n-1 + m_nx_n = b. Tässä x_minä'ovat tuntemattomia muuttujia, m_minä's ja b ovat todellisia lukuja, joissa kukin m_minä ei ole nolla.

Tällainen yhtälö edustaa hypertasoa n-ulotteisessa euklidisessa tilassa. Erityisesti kaksi muuttuvaa lineaarista yhtälöä edustaa suoraa suoraa Cartesian tasossa ja kolme muuttuvaa lineaarista yhtälöä edustaa tasoa Euklidian 3-tilassa.

Mikä on epälineaarinen yhtälö?

Nelijakoinen yhtälö on algebrallinen yhtälö, joka ei ole lineaarinen. Toisin sanoen epälineaarinen yhtälö on algebrallinen yhtälö asteella 2 tai korkeammalla. x² + 3x + 2 = 0 on yksittäinen muuttuja epälineaarinen yhtälö. x² + y³+ 3xy = 4 ja 8 yzx² + y² + 2z² + x + y + z = 4 ovat esimerkkejä epälineaarisista yhtälöistä vastaavasti 3 ja 4 muuttujaa.

Toisen asteen epälineaarista yhtälöä kutsutaan neliömäiseksi yhtälöksi. Jos aste on 3, niin sitä kutsutaan kuutioyhtälöksi. Asteen 4 ja asteen 5 yhtälöitä kutsutaan vastaavasti kvartsi- ja kintayhtälöiksi. On osoitettu, että ei ole olemassa analyyttistä menetelmää minkään asteen 5 epälineaarisen yhtälön ratkaisemiseksi, ja tämä pätee myös mihin tahansa korkeaan asteeseen. Ratkaistavat epälineaariset yhtälöt edustavat hyperpintoja, jotka eivät ole hypertasoja.