Ero Laplacen ja Fourier-muunnosten välillä

Laplace vs Fourier -muunnokset
 

Sekä Laplace-muunnos että Fourier-muunnos ovat integraalimuunnoksia, joita käytetään yleisimmin matemaattisina menetelmin matemaattisesti mallinnettujen fysikaalisten järjestelmien ratkaisemiseksi. Prosessi on yksinkertainen. Monimutkainen matemaattinen malli muunnetaan yksinkertaisemmaksi, ratkaistavaksi malliksi integroidun muunnoksen avulla. Kun yksinkertaisempi malli on ratkaistu, käänteinen integraalimuunnos suoritetaan, mikä tarjoaisi ratkaisun alkuperäiseen malliin.

Esimerkiksi, koska suurin osa fysikaalisista järjestelmistä johtaa differentiaaliyhtälöihin, ne voidaan muuntaa algebrallisiksi yhtälöiksi tai alemman asteen helposti ratkaistaviksi differentiaaliyhtälöiksi integroidun muunnoksen avulla. Sitten ongelman ratkaiseminen tulee helpommaksi.

Mikä on Laplaksen muunnos?

Annettu toiminto f (T) todellisen muuttujan T, sen Laplace-muunnoksen määrittelee integraali (aina kun se on olemassa), joka on kompleksisen muuttujan funktio s. Sitä käytetään yleensä L f (T). Funktion käänteinen Laplacen muunnos F(s) pidetään funktiona f (T) siten, että L f (T) = F(s) ja tavallisessa matemaattisessa merkinnässä kirjoitamme L ^-1F(s) = f (T).Käänteinen muunnos voidaan tehdä ainutlaatuiseksi, jos nollatoiminnot eivät ole sallittuja. Näitä kahta voidaan tunnistaa lineaarisiksi operaattoreiksi, jotka on määritelty toimintotilassa, ja on myös helppo nähdä, L ^-1L f (T) = f (T), jos nollatoiminnot eivät ole sallittuja.

Seuraavassa taulukossa on lueteltu joidenkin yleisimpien funktioiden Laplace-muunnokset.

Mikä on Fourier-muunnos?

Annettu toiminto f (T) todellisen muuttujan T, sen Laplace-muunnoksen määrittelee integraali (aina kun sitä on), ja sitä merkitään yleensä F f (T). Käänteinen muunnos F ^-1F(α) annetaan integraalilla . Fourier-muunnos on myös lineaarinen, ja sitä voidaan pitää toimintoalueessa määritellynä operaattorina.

Fourier-muunnosta käyttämällä alkuperäinen funktio voidaan kirjoittaa seuraavasti edellyttäen, että funktiolla on vain rajallinen määrä epäjatkuvuuksia ja että se on täysin integroitavissa.

Mitä eroa on Laplacen ja Fourier-muunnosten välillä??

• Funktion Fourier-muunnos f (T) on määritelty , kun taas sen laplaanimuunnos on määritelty olevan .
• Fourier-muunnos määritetään vain funktioille, jotka määritetään kaikille todellisille numeroille, kun taas Laplacen muunnos ei vaadi funktion määrittelemistä negatiivisten reaalilukujen asettamiseksi..
• Fourier-muunnos on Laplace-muunnoksen erityistapaus. Voidaan nähdä, että molemmat vastaavat ei-negatiivisia reaalilukuja. (eli ottaa s Laplacen olla iα + β missä α ja β ovat todellisia sellaisia, että e ^β= ¹/_{√ (2ᴫ)})
• Jokaisella funktiolla, jolla on Fourier-muunnos, on Laplace-muunnos, mutta ei päinvastoin.