Ero integraation ja summauksen välillä

Integrointi vs. summaus
 

Ylemmän lukion matematiikassa integraatio ja summaus löytyvät usein matemaattisista operaatioista. Niitä käytetään näennäisesti erilaisina työkaluina ja eri tilanteissa, mutta heillä on erittäin läheinen suhde.

Lisätietoja Summation

Summaaminen on numerosarjan lisäämisen operaatio ja operaatio merkitään usein kreikkalaisella kirjaimella sigma Σ. Sitä käytetään lyhentämään summaus ja yhtä suuri kuin sekvenssin summa / kokonaisuus. Niitä käytetään usein esittämään sarjaa, joka olennaisesti on ääretön sekvenssi summattuna. Niitä voidaan käyttää myös osoittamaan vektorien, matriisien tai polynomien summa.

Liittäminen tehdään yleensä joukolle arvoja, joita voidaan edustaa yleinen termi, kuten sarja, jolla on yhteinen termi. Summauksen lähtö- ja loppupiste tunnetaan vastaavasti summauksen ala- ja ylärajana.

Esimerkiksi sekvenssin a summa₁, ₂, ₃, ₄, …, A_n on₁ + ₂ + ₃ +… + A_n joka voidaan helposti esittää käyttämällä summausmerkintää muodossa ∑ⁿ_{i = 1 minä}; minua kutsutaan summausindeksiksi.

Summaatioon käytetään sovelluksen perusteella monia muunnelmia. Joissakin tapauksissa yläraja ja alaraja voidaan antaa välinä tai alueena, kuten ∑_{1≤i≤100 minä} ja ∑_{i e [1100] minä}. Tai se voidaan antaa numerosarjana, kuten ∑_{i∈P minä} , missä P on määritelty joukko.

Joissakin tapauksissa voidaan käyttää kahta tai useampaa merkkimerkkiä, mutta ne voidaan yleistää seuraavasti; Σ_j Σ_K jk = ∑_{j, k jk}.

Lisäksi summaus noudattaa monia algebrallisia sääntöjä. Koska upotettu toiminta on lisäys, monia algebran yleisiä sääntöjä voidaan soveltaa itse summiin ja summauksen kuvaamiin yksittäisiin termeihin.

Lisätietoja integraatiosta

Integrointi määritellään käänteiseksi erilaistumisprosessiksi. Mutta sen geometrisessa näkymässä sitä voidaan pitää myös funktion käyrän ja akselin ympäröimänä alueena. Siksi pinta-alan laskemisella saadaan määritellyn integraalin arvo kaaviossa esitetyllä tavalla.

Kuvalähde: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Riemann_sum_convergence.png

Erityisen integraalin arvo on itse asiassa käyrän ja akselin sisällä olevien pienten nauhojen summa. Kunkin nauhan pinta-ala on korkeus × leveys tarkasteltavan akselin pisteessä. Leveys on arvo, jonka voimme valita esimerkiksi sayx. Ja korkeus on suunnilleen funktion arvo tarkasteltavana olevassa pisteessä f(x_minä). Kaaviosta on selvää, että mitä pienemmät nauhat ovat, sitä paremmin nauhat mahtuvat rajoitetun alueen sisäpuolelle, joten arvo on parempi.

Joten yleensä selvä integraali minä, pisteiden a ja b välillä (ts. välillä [a, b] missä aminä ≅ f(x₁) Ax + f(x₂) ∆x + ⋯ + f(x_n) ∆x, missä n on kaistaleiden lukumäärä (n = (b-a) / ∆x). Tämä alueen summaus voidaan helposti esittää käyttämällä summausmerkintää as minä ≅ ∑ⁿ_{i = 1} f(x_minä) Ax. Koska likimääräisyys on parempi, kun ∆x on pienempi, voimme laskea arvon, kun ∆x → 0. Siksi on kohtuullista sanoa minä = lim_{Ax → 0} Σⁿ_{i = 1} f(x_minä) Ax.

Yleistyksenä yllä olevasta käsitteestä voimme valita ∆x tarkasteltavan aikavälin perusteella, joka on indeksoitu i: llä (valitsemalla alueen leveys sijainnin perusteella). Sitten saamme

minä= lim_{Ax → 0} Σⁿ_{i = 1} f(x_minä) ∆x_minä = ∫^b f(X) dx

Tätä kutsutaan funktion Reimann-integraaliksi f(x) välillä [a, b]. Tässä tapauksessa a ja b tunnetaan integraalin ylemmänä ja alarajana. Reimannin integraali on perusmuoto kaikista integraatiomenetelmistä.

Integrointi on pohjimmiltaan alueen summausta, kun suorakulmion leveys on ääretön.

Mitä eroa integraation ja summauksen välillä on??

• Summitus on numerosarjan summaaminen. Yleensä summaus annetaan tässä muodossa ∑ⁿ_{i = 1 minä} kun sekvenssin ehdoilla on malli ja ne voidaan ilmaista käyttämällä yleistä termiä.

• Integrointi on periaatteessa toimintokäyrän, akselin sekä ylä- ja alarajojen rajaamaa aluetta. Tämä alue voidaan antaa rajatulle alueelle sisältyvien paljon pienempien alueiden summana.

• Summaatio sisältää diskreetit arvot ylä- ja alarajoilla, kun taas integraatio sisältää jatkuvia arvoja.

• Integrointi voidaan tulkita summauksen erityismuotona.

• Numeerisissa laskentamenetelmissä integraatio suoritetaan aina summauksena.