Ero Fourier-sarjan ja Fourier-muunnoksen välillä

Fourier-sarja vs. Fourier-muunnos

Fourier-sarja hajottaa jaksollisen funktion sinien ja kosinien summaan, joilla on eri taajuudet ja amplitudit. Fourier-sarja on haara Fourier-analyysistä, ja sen esitteli Joseph Fourier. Fourier-muunnos on matemaattinen toimenpide, joka murtaa signaalin sen osataajuuksille. Alkuperäistä signaalia, joka muuttui ajan myötä, kutsutaan signaalin aika-alueen esitykseksi. Fourier-muunnosta kutsutaan signaalin taajuusalueen esitykseksi, koska se riippuu taajuudesta. Sekä signaalin taajuusalueen esittämiseen että prosessiin, jota käytetään muuttamaan signaali taajuusalueeseen, viitataan Fourier-muunnokseksi.

Mikä on Fourier-sarja?

Kuten aikaisemmin mainittiin, Fourier-sarja on jaksollisen funktion laajennus, joka käyttää ääretöntä sini- ja kosiniinimäärää. Fourier-sarja kehitettiin alun perin lämpöyhtälöitä ratkaistaessa, mutta myöhemmin selvisi, että samaa tekniikkaa voidaan käyttää ratkaisemaan suuri joukko matemaattisia ongelmia, erityisesti ongelmia, joihin liittyy lineaariset differentiaaliyhtälöt vakiokertoimilla. Nyt Fourier-sarjassa on sovelluksia monilla aloilla, mukaan lukien sähkötekniikka, värähtelyanalyysi, akustiikka, optiikka, signaalinkäsittely, kuvankäsittely, kvanttimekaniikka ja ekonometria. Fourier-sarjat käyttävät sini- ja kosinitoimintojen ortogonaalisuhteita. Fourier-sarjojen laskenta ja tutkimus tunnetaan harmonisena analyysina, ja se on erittäin hyödyllinen työskennellessäsi mielivaltaisten jaksollisten funktioiden kanssa, koska se mahdollistaa funktion hajottamisen yksinkertaisilla termeillä, joita voidaan käyttää ratkaisun löytämiseen alkuperäiseen ongelmaan.

Mikä on Fourier-muunnos?

Fourier-muunnos määrittelee suhteen aika-alueella olevan signaalin ja sen esittämisen välillä taajuusalueella. Fourier-muunnos hajottaa funktion värähteleviksi funktioiksi. Koska tämä on muunnos, alkuperäinen signaali voidaan saada tietämällä muunnos, joten prosessissa ei luoda tai kadota tietoa. Fourier-sarjojen tutkiminen tarjoaa todella motivaatiota Fourier-muutokselle. Siniaalien ja kosinien ominaisuuksien vuoksi on mahdollista palauttaa kunkin aallon määrä, joka vaikuttaa summaan integraalin avulla. Fourier-muunnoksella on joitain perusominaisuuksia, kuten lineaarisuus, translaatio, modulaatio, skaalaus, konjugaatio, kaksinaisuus ja konvoluutio. Fourier-muunnosta käytetään erotteluyhtälöiden ratkaisemisessa, koska Fourier-muunnos liittyy läheisesti Laplace-muunnokseen. Fourier-muunnosta käytetään myös ydinmagneettisessa resonanssissa (NMR) ja muunlaisissa spektroskopioissa.

Ero Fourier-sarjan ja Fourier-muunnoksen välillä

Fourier-sarja on jaksollisen signaalin laajennus siniaalien ja kosinien lineaarisena yhdistelmänä, kun taas Fourier-muunnos on prosessi tai toiminto, jota käytetään signaalien muuntamiseen aika-alueelta taajuusalueelle. Fourier-sarja määritetään jaksottaisille signaaleille ja Fourier-muunnosta voidaan soveltaa aperiodisiin (tapahtuu ilman jaksottelua) signaaleihin. Kuten edellä mainittiin, Fourier-sarjojen tutkimus todella motivoi Fourier-muunnosta.