Ero johdannaisten ja integraalien välillä

Johdannainen vs integraali

Erottelu ja integraatio ovat kaksi perustavanlaatuista toimintaa Calculuksessa. Heillä on lukuisia sovelluksia useilla aloilla, kuten matematiikka, tekniikka ja fysiikka. Sekä johdannainen että integraali keskustelevat kiinnostavan fyysisen kokonaisuuden toiminnon tai käytöksen käyttäytymisestä.

Mikä on johdannainen?

Oletetaan, että y = ƒ (x) ja x₀ on verkkotunnuksen ƒ. Sitten lim_{Ax → ∞}Ay / Ax = raja_{ΔX → ∞}[Ƒ (x₀+Δx) - ƒ (x₀)] / Δx kutsutaan hetkelliseksi muutosnopeudeksi ƒ x: llä₀, jos tämä raja on olemassa lopullisesti. Tätä rajaa kutsutaan myös at: n johdannaiseksi ja sitä merkitään by (x).

Funktion johdannaisen arvo f mielivaltaisessa pisteessä x funktion alueella annetaan lim_{ΔX → ∞}[ƒ (x + Ax) - ƒ (x)] / Ax. Tätä merkitään jollain seuraavista lausekkeista: y, ƒ (x), ƒ, dƒ (x) / dx, dƒ / dx, D_xy.

Useiden muuttujien funktioille määrittelemme osittaisen johdannaisen. Usean muuttujan funktion osittainen johdannainen on sen johdannainen suhteessa näihin muuttujiin olettaen, että muut muuttujat ovat vakioita. Osittaisen johdannaisen symboli on ∂.

Geometrisesti funktion johdannainen voidaan tulkita funktion käyrän kaltevuudeksi ƒ (x).

Mikä on integraali?

Integroituminen tai erilaistuminen on erilaistumisen käänteinen prosessi. Toisin sanoen se on alkuperäisen funktion löytämisprosessi, kun funktion johdannainen annetaan. Siksi funktion integral (x) integraali tai antijohdannainen, jos ƒ (x) =F(x) voidaan määritellä funktiona F(x) kaikille x verkkotunnuksen ƒ (x) alueella.

Lause ∫ƒ (x) dx tarkoittaa funktion ƒ (x) johdannaista. Jos ƒ (x) =F(x), sitten ∫ƒ (x) dx = F(x) + C, missä C on vakio, ∫ƒ (x) dx kutsutaan ƒ (x): n määrittelemättömäksi integraaliksi.

Millä tahansa toiminnolla ƒ, joka ei välttämättä ole negatiivinen ja joka on määritelty aikavälillä [a, b], ∫^bƒ (x) dx kutsutaan lopulliseksi integraaliksi ƒ [a, b]: lla.

Ehdoton integraali ∫^bFunktion ƒ (x) dx x (x) dx voidaan tulkita geometrisesti alueen käyrän ƒ (x), x-akselin ja viivojen x = a ja x = b rajaaman alueen pinta-alaksi..