Ero johdannaisten ja differentiaalien välillä

Johdannainen vs. differentiaalinen
 

Erotuslaskennassa funktion derivaatta ja differentiaali ovat läheisesti toisiinsa liittyviä, mutta niiden merkitys on hyvin erilainen, ja niitä käytetään edustamaan kahta tärkeätä matemaattista objektia, jotka liittyvät erotettavissa oleviin funktioihin.

Mikä on johdannainen?

Funktion johdannainen mittaa nopeutta, jolla funktion arvo muuttuu sen tulon muuttuessa. Monimuuttujatoiminnoissa funktion arvon muutos riippuu riippumattomien muuttujien arvojen muutoksen suunnasta. Siksi tällaisissa tapauksissa valitaan tietty suunta ja toiminta erotetaan toiseen suuntaan. Tätä johdannaista kutsutaan suuntajohdannaiseksi. Osittaiset johdannaiset ovat erityissuuntaisia ​​johdannaisia.

Vektoriarvoisen funktion johdannainen f voidaan määritellä rajaksi missä se on olemassa lopullisesti. Kuten aiemmin mainittiin, tämä antaa meille funktion kasvunopeuden f vektorin suuntaa pitkin U. Yksiarvoisen funktion tapauksessa tämä pienenee johdannaisen tunnettuun määritelmään,  

Esimerkiksi, on kaikkialla erotettavissa, ja johdannainen on yhtä suuri kuin raja, , joka on yhtä suuri kuin . Funktion, kuten   olemassa kaikkialla. Ne vastaavat funktioita .                                                                                

Tätä kutsutaan ensimmäiseksi johdannaiseksi. Yleensä ensimmäinen funktion johdannainen f on merkitty f ⁽¹⁾. Nyt käyttämällä tätä merkintää on mahdollista määritellä korkeamman asteen johdannaiset. on toisen asteen suuntajohdannainen, ja joka merkitsee n^th johdannainen f ⁽ⁿ⁾ jokaiselle n, ,  määrittelee n^th johdannainen.

Mikä on ero??

Funktion differentiaali edustaa funktion muutosta suhteessa riippumattoman muuttujan tai muuttujien muutoksiin. Tietylle toiminnolle tavallisessa merkinnässä f yhden muuttujan x, järjestyksen 1 kokonaisero df on antama, . Tämä tarkoittaa, että x(ts. dx), siellä tulee olemaan  f ⁽¹⁾(x) dx muutos f.

Rajojen käytöllä voidaan päästä määritelmään seuraavasti. Oletetaan ∆x on muutos x mielivaltaisessa pisteessä x ja ∆f on vastaava muutos toiminnossa f. Voidaan osoittaa, että ∆f = f ⁽¹⁾(x) Δx+ ε, missä ϵ on virhe. Nyt raja ∆x →0^Δf/_Δx= f ⁽¹⁾(x) (käyttämällä johdannaisen aiemmin mainittua määritelmää) ja siten ∆x →0^ε/_Δx= 0. Siksi on mahdollista päätellä, että ∆x →0ε = 0. Merkitsee nyt ∆x →0 ∆f kuten df ja ∆x →0 ∆x kuten dx differentiaalin määritelmä saadaan tiukasti. 

Esimerkiksi funktion differentiaali On .

Kahden tai useamman muuttujan funktioiden tapauksessa funktion kokonaisero on määritelty erotusten summana kunkin riippumattoman muuttujan suunnassa. Matemaattisesti se voidaan sanoa .