Ero ehdottomien ja määrittelemättömien integraalien välillä

Laskelma on tärkeä matematiikan haara, ja erottelulla on kriittinen rooli laskennassa. Erottelun käänteinen prosessi tunnetaan integraationa, ja käänteinen tunnetaan integraalina, tai yksinkertaisesti sanottuna, erottelun käänteinen antaa integraalin. Tulosten perusteella ne tuottavat integraalit jaetaan kahteen luokkaan, nimittäin, määriteltyihin ja määrittelemättömiin integraaleihin.

Erinomainen integraali

Selvä integraali f (x) on NUMERO ja edustaa käyrän alla olevaa aluetta f (x) alkaen x = a että x = b.

Tiettävällä integraalilla on integraalien ylä- ja alarajat, ja sitä kutsutaan ehdottomaksi, koska ongelman lopussa meillä on numero - se on varma vastaus.

Määrittelemätön integraali

F (x): n määrittelemätön integraali on TOIMINTO ja vastaa kysymykseen: ”Mikä funktio erotettaessa antaa f (x)?”

Määrittelemättömällä integraalilla ei integraalilla ole tässä ylä- ja alarajaa, ja saamme vastauksen, jolla on vielä xon siinä ja sillä on myös vakio (jota yleensä merkitään C) sen sisällä.

Määrittelemätön integraali antaa yleensä yleisen ratkaisun differentiaaliyhtälöön.

Määrittelemätön integraali on enemmän integraation yleinen muoto, ja sitä voidaan tulkita tarkasteltavan funktion vastajohdannaiseksi.

Oletetaan, että toiminnan eriyttäminen F johtaa toiseen funktioon f, ja f: n integraatio antaa integraalin. Symbolisesti tämä kirjoitetaan

F (x) = ∫ƒ (x) dx

tai

F = ∫ƒ dx

missä molemmat F ja ƒ ovat x, ja F on erotettavissa. Yllä olevassa muodossa sitä kutsutaan Reimann-integraaliksi ja tuloksena oleva funktio liittyy mielivaltaiseen vakioon.

Määrittelemätön integraali tuottaa usein toimintoperheen; siksi integraali on määrittelemätön.

Integraalit ja integraatioprosessi ovat keskeisiä ratkaistaessa differentiaaliyhtälöitä. Toisin kuin eriyttämisvaiheet, integrointivaiheet eivät kuitenkaan aina noudata selkeää ja standardirutiinia. Toisinaan näemme, että ratkaisua ei voida ilmaista nimenomaisesti perusfunktion avulla. Tässä tapauksessa analyyttinen liuos annetaan usein määrittelemättömän integraalin muodossa.

Laskennan peruslause

Määritelmättömän ja määrittelemättömän integraalin yhdistävät Calculuksen peruslause seuraavalla tavalla: varma integraali, Etsi määrittelemätön integraali (tunnetaan myös anti-johdannaisena) toiminnasta ja arvioidaan loppupisteissä x = a ja x = b.

Ero määrättyjen ja määrittelemättömien integraalien välillä ilmenee, kun arvioimme integraalit samalle toiminnolle.

Harkitse seuraavaa integraalia:

OK. Tehdään molemmat ja katsotaan ero.

Integroimiseksi meidän on lisättävä yksi hakemistoon, joka johtaa seuraavaan lausekkeeseen:

Tässä vaiheessa C on vain vakio meille. Tarvitaan lisätietoja ongelmassa tarkan arvon määrittämiseksi C.

Arvioidaan sama integraali määrätyssä muodossaan, ts. Ylä- ja alarajojen mukana.

Graafisesti ottaen laskemme nyt käyrän alla olevan alueen f (x) = y³ välillä y = 2 ja y = 3.

Tämän arvioinnin ensimmäinen askel on sama kuin määrittelemätön kiinteä arviointi. Ainoa ero on, että tällä kertaa emme lisää vakiona C.

Ilmaisu näyttää tässä tapauksessa seuraavalta:

Tämä puolestaan ​​johtaa:

Pohjimmiltaan korvasimme lausekkeessa 3 ja sitten 2 ja saimme eron niiden välillä.

Tämä on varma arvo toisin kuin vakion käyttö C aikaisemmin.

Tarkastellaan vakiokerrointa (suhteessa loputtomaan integraaliin) yksityiskohtaisemmin.

Jos ero on y³ On 3Y², sitten

∫3Y²dy = y³

kuitenkin, 3Y² voisi olla erotus monista lauseista, joista jotkut sisältävät y³-5, y³+7, jne.… Tämä tarkoittaa, että kääntö ei ole ainutlaatuinen, koska vakioa ei oteta huomioon toiminnan aikana.

Joten yleensä, 3Y² on erotus y³+C missä C on mikä tahansa vakio. Muuten, C tunnetaan nimellä 'integraation vakio'.

Me kirjoitamme tämän seuraavasti:

∫ 3Y².dx = y³ + C

Integrointitekniikat määrittelemättömälle integraalille, kuten taulukkohaku tai Risch-integraatio, voivat lisätä uusia epäjatkuvuuksia integrointiprosessin aikana. Nämä uudet epäjatkuvuudet ilmestyvät, koska antijohdannaiset voivat edellyttää monimutkaisten logaritmien käyttöönottoa.

Monimutkaisilla logaritmeilla on hypyn epäjatkuvuus, kun argumentti ylittää negatiivisen todellisen akselin, ja integraatioalgoritmit eivät joskus löydä esitystä, jossa nämä hyppyt peruutetaan.

Jos tarkka integraali arvioidaan laskemalla ensin määrittelemätön integraali ja korvaamalla sitten integraatiorajat tulokseen, meidän on oltava tietoisia siitä, että määrittelemätön integraatio voi tuottaa epäjatkuvuuksia. Jos niin tapahtuu, meidän on lisäksi tutkittava integroitumisvälin epäjatkuvuuksia.