Ero Power-sarjan ja Taylor-sarjan välillä

Power-sarja vs. Taylor-sarja

Matematiikassa todellinen sekvenssi on järjestetty luettelo todellisista numeroista. Muodollisesti se on funktio luonnollisten lukujen joukosta todellisten lukujen joukkoon. Jos _non sitten^th sekvenssin termillä, tarkoitamme sekvenssiä tai sen avulla ₁,₂,…, A_n,…. Esimerkki on esimerkiksi sekvenssi 1, ½, ⅓,… , ¹/_n,… Se voidaan merkitä nimellä 1 / n.

Sarja voidaan määritellä sekvensseillä. Sarja on sekvenssin ehtojen summa. Siksi jokaiselle sekvenssille on liittyvä sekvenssi ja päinvastoin. Jos_n on tarkasteltava sekvenssi, silloin sekvenssin muodostama sarja voidaan esittää seuraavasti:                                           

 Siten edellisessä esimerkissä liittyvä sarja on 1+¹/₂+¹/₃+...  + ¹/_n +... . 

Kuten nimet viittaavat, tehosarjat ovat erityinen sarja, ja sitä käytetään laajasti numeerisessa analyysissä ja siihen liittyvässä matemaattisessa mallinnuksessa. Taylor-sarja on erityinen tehosarja, joka tarjoaa vaihtoehtoisen ja helposti manipuloitavan tavan edustaa tunnettuja toimintoja.

Mikä on Power-sarja??

Voimasarja on lomakkeen sarja

    

joka on lähentyvä (mahdollisesti) jonkin ajanjakson kohdalla C. Kertoimet _n voivat olla todellisia tai monimutkaisia ​​lukuja, ja on riippumaton x; so. nuken muuttuja.

Esimerkiksi asettamalla _n= 1 jokaiselle n, ja C = 0, tehosarja 1 + x + x²+… + Xⁿ+… Saadaan. On helppo havaita, että kun x ε (-1,1), tämä tehosarja lähenee 1 / (1-x).          

Voitesarja lähenee, kun x = C. Muut arvot x jolle tehosarjat lähentyvät, tulee aina olevan avoimen aikavälin muodossa, jonka keskipiste on C. Tuo on, arvoksi tulee 0≤ R <∞ sellainen, että jokaiselle x tyydyttävä | x-c | ≤R, tehosarjat ovat yhtenäisiä ja jokaiselle x  tyydyttävä | x-c |>R, tehosarja on erilainen. Tämä arvo R kutsutaan tehosarjojen konvergenssisädeksi (R voi ottaa minkä tahansa todellisen arvon tai positiivisen ääretön).

Tehosarjat voidaan lisätä, vähentää, kertoa ja jakaa seuraavia sääntöjä käyttämällä. Tarkastellaan kahta tehosarjaa:       

   

                               .

Sitten,                 

so. kuten termit lisätään tai vähennetään yhdessä. Lisäksi on mahdollista kertoa ja jakaa kaksi tehosarjaa identiteetin avulla,

Mikä on Taylor-sarja?

Taylor-sarja määritetään toiminnolle f(x), joka on erotettavissa loputtomasti väliajoin. olettaa f(x) on erotettavissa aikavälillä, jonka keskitys on C. Sitten voimasarja, jonka antaa

                                                                                                                                

kutsutaan funktion Taylor-sarjan laajennukseksi f(x) noin C. (Tässä f^(N)(C) Merkitä n^th johdannainen klo x = C). Numeerisessa analyysissä rajallista määrää termejä tässä äärettömässä laajennuksessa käytetään arvojen laskemiseen pisteissä, joissa sarja on lähentynyt alkuperäistä funktiota.

Toiminto f(x) sanotaan olevan analyyttinen aikavälillä (a, b), jos jokaiselle x ε (a, b) Taylor-sarja f(x) lähenee toimintoon f(x). Esimerkiksi 1 / (1-x) on analyyttinen kohdassa (-1,1), koska sen Taylor-laajennus 1 + x + x²+… + Xⁿ+… Muuttuu funktiona kyseisellä aikavälillä, ja e^x  on analyyttinen kaikkialla, koska Taylor - sarjan e^xlähenee e^x kutakin todellista lukua kohden x.

Mikä ero on Power-sarjan ja Taylor-sarjan välillä??

1. Taylor-sarja on erityinen tehosarja, joka on määritelty vain toiminnoille, jotka ovat erotettavissa loputtomasti tietyllä avoimella aikavälillä.

2. Taylor-sarjat ovat erityisessä muodossa

        

taas voimasarja voi olla mikä tahansa muodon sarja