Ero ortogonaalisen ja ortonormaalin välillä

Ortogonaalinen vs. ortonormaali

Matematiikassa kahta sanaa ortogonaalinen ja ortonormaali käytetään usein yhdessä vektorisarjan kanssa. Tässä käytetään termiä "vektori" siinä mielessä, että se on vektoritilan elementti - lineaarisessa algebrassa käytetty algebrallinen rakenne. Keskusteluissamme tarkastelemme sisäistä tuotetta - vektoritilaa V yhdessä sisätuotteen kanssa [] määritelty V.

Esimerkiksi sisätuotteelle tila on joukko kaikkia kolmiulotteisia sijaintivektoreita yhdessä tavanomaisen pistetuotteen kanssa.

Mikä on ortogonaalinen?

Ei-tyhjä alajoukko S sisäisen tuotetilan V sanotaan olevan ortogonaalinen, jos ja vain jos jokaiselle selvä u, v sisään S, [u, v] = 0; toisin sanoen U ja v on yhtä suuri kuin nolla-asteikko sisäisessä tuotetilassa.

Esimerkiksi kaikkien kolmiulotteisten sijaintivektorien sarjassa tämä vastaa sanomista, että jokaiselle erilliselle sijaintivektoriparille p ja q julkaisussa S, p ja q ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden. (Muista, että tämän vektoritilan sisäinen tuote on pistetuote. Myös kahden vektorin pistetuote on yhtä suuri kuin 0 jos ja vain jos molemmat vektorit ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden.)

Harkitse sarjaa S = (0,2,0), (4,0,0), (0,0,5), joka on osa kolmiulotteisista sijaintivektoreista. Huomaa, että (0,2,0) (4,0,0) = 0, (4,0,0).(0,0,5) = 0 & (0,2,0).(0,0,5) = 0. Täten setti S on ortogonaalinen. Erityisesti kahden vektorin sanotaan olevan ortogonaalinen, jos niiden sisäinen tuote on 0. Siksi jokaisen vektoriparin sisällä Son ortogonaalinen.

Mikä on ortonormaali?

Ei-tyhjä alajoukko S sisäisen tuotetilan V sanotaan olevan ortonormaalinen vain ja vain jos S on ortogonaalinen ja jokaiselle vektorille U sisään S, [u, u] = 1. Siksi voidaan nähdä, että jokainen ortonormaali ryhmä on ortogonaalinen, mutta ei päinvastoin.

Esimerkiksi kaikkien kolmiulotteisten sijaintivektorien sarjassa tämä vastaa sanomista, että jokaiselle erilliselle sijaintivektoriparille p ja q sisään S, p ja q ovat kohtisuorassa toisiinsa ja jokaiselle p sisään S, | P | = 1. Tämä johtuu kunnosta [p, p] = 1 pienenee arvoon p.p = | s || p |cos0 = | P |²= 1, joka vastaa | P | = 1. Siksi, ottaen huomioon ortogonaalisen joukon, voimme aina muodostaa vastaavan ortonormaalijoukon jakamalla jokainen vektori sen suuruudella.

T = (0,1,0), (1,0,0), (0,0,1) on ortonormaali osajoukko kaikista kolmiulotteisista sijaintivektoreista. On helppo nähdä, että se saatiin jakamalla kaikki sarjan vektorit S, suuruuksiltaan.

Mikä on ero ortogonaalisen ja ortonormaalin välillä??

• Ei-tyhjä alajoukko S sisäisen tuotetilan V sanotaan olevan ortogonaalinen, jos ja vain jos jokaiselle erilliselle u, v sisään S, [u, v] = 0. Se on kuitenkin ortonormaali, jos ja vain jos lisäedellytys - jokaiselle vektorille U sisään S, [u, u] = 1 on tyytyväinen.
• Mikä tahansa ortonaalinen sarja on ortogonaalinen, mutta ei päinvastoin.
• Mikä tahansa ortogonaalinen joukko vastaa ainutlaatuista ortonaalista joukkoa, mutta ortonormaali joukko voi vastata monia ortogonaalisia joukkoja.