Ero lineaarisen ja epälineaarisen differentiaaliyhtälön välillä

Lineaarinen vs epälineaarinen differentiaaliyhtälö
 

Kaava, joka sisältää ainakin yhden erotuskerroimen tai tuntemattoman muuttujan johdannaisen, tunnetaan differentiaaliyhtälönä. Eroyhtälö voi olla joko lineaarinen tai epälineaarinen. Tämän artikkelin tarkoituksena on selittää mikä on lineaarinen differentiaaliyhtälö, mikä on epälineaarinen differentiaaliyhtälö ja mikä on ero lineaarisen ja epälineaarisen differentiaaliyhtälön välillä.

Koska matemaatikot, kuten Newton ja Leibnitz, ovat kehittäneet laskimoita 1800-luvulla, differentiaaliyhtälöllä on ollut tärkeä rooli matematiikan tarinassa. Erotusyhtälöillä on suuri merkitys matematiikassa niiden sovellusalueen takia. Eriyhtälöyhtälöt ovat jokaisen kehittämämme mallin ytimessä selittämään mitä tahansa skenaariota tai tapahtumaa maailmassa, olipa kyse sitten fysiikasta, tekniikasta, kemiasta, tilastoista, taloudellisesta analyysista tai biologiasta (luettelo on loputon). Itse asiassa, kunnes laskutoimituksesta tuli vakiintunut teoria, asianmukaisia ​​matemaattisia työkaluja ei ollut saatavana luonnon mielenkiintoisten ongelmien analysoimiseksi.

Tulokset, jotka johtuvat tietyn laskentasovelluksen käytöstä, voivat olla hyvin monimutkaisia, ja joskus niitä ei voida ratkaista. On kuitenkin joitain, jotka voimme ratkaista, mutta voivat näyttää samanlaisilta ja hämmentäviltä. Siksi differentiaaliyhtälöt luokitellaan helpompaa tunnistamista varten niiden matemaattisen käyttäytymisen perusteella. Lineaarinen ja epälineaarinen on yksi tällainen luokittelu. On tärkeää tunnistaa ero lineaaristen ja epälineaaristen differentiaaliyhtälöiden välillä.

Mikä on lineaarinen differentiaaliyhtälö?

Olettaa, että f: X → Y ja f (x) = y, a differentiaaliyhtälö ilman tuntemattoman funktion epälineaarisia termejä y ja sen johdannaiset tunnetaan lineaarisena differentiaaliyhtälönä.

Se asettaa ehdon, että y: llä ei voi olla korkeampia indeksitermejä, kuten y², y³,... ja johdannaisten kerrannaiset, kuten 

Se ei voi sisältää myös epälineaarisia termejä, kuten Sin y, e^{y^ -2}, tai ln y. Se on muodoltaan, 

missä y ja g ovat x. Yhtälö on kertaluvun differentiaaliyhtälö n, joka on korkeimman asteen johdannaisen indeksi.

Lineaarisessa differentiaaliyhtälössä differentiaalioperaattori on lineaarinen operaattori ja ratkaisut muodostavat vektoriavaruuden. Ratkaisukokonaisuuden lineaarisen luonteen seurauksena ratkaisujen lineaarinen yhdistelmä on myös ratkaisu differentiaaliyhtälöön. Eli jos y₁ ja y₂ ovat sitten differentiaaliyhtälön ratkaisuja C₁ y₁+ C₂ y₂ on myös ratkaisu.

Kaavan lineaarisuus on vain yksi luokituksen parametri, ja se voidaan edelleen luokitella homogeenisiksi tai ei-homogeenisiksi ja tavanomaisiksi tai osittaisiksi differentiaaliyhtälöiksi. Jos toiminto on g= 0, sitten yhtälö on lineaarinen homogeeninen differentiaaliyhtälö. Jos f on kahden tai useamman riippumattoman muuttujan funktio (f: X, T → Y) ja f (x, t) = y , sitten yhtälö on lineaarinen osittainen differentiaaliyhtälö.

Eroyhtälön ratkaisumenetelmä riippuu differentiaaliyhtälön tyypistä ja kertoimista. Helpoin tapaus syntyy, kun kertoimet ovat vakioita. Klassinen esimerkki tässä tapauksessa on Newtonin toinen liikelaki ja sen erilaiset sovellukset. Newtonin toinen laki tuottaa toisen asteen lineaarisen differentiaaliyhtälön vakiokertoimilla.

Mikä on epälineaarinen differentiaaliyhtälö?

Yhtälöt, jotka sisältävät epälineaarisia termejä, tunnetaan epälineaarisina differentiaaliyhtälöinä.

 

Kaikki yllä olevat ovat epälineaarisia differentiaaliyhtälöitä. Epälineaarisia differentiaaliyhtälöitä on vaikea ratkaista, joten oikean ratkaisun saamiseksi tarvitaan tiivistä tutkimusta. Osittaisen differentiaaliyhtälön tapauksessa useimmissa yhtälöissä ei ole yleistä ratkaisua. Siksi kutakin yhtälöä on käsiteltävä itsenäisesti.

Navier-Stokesin yhtälö ja Eulerin yhtälö fluididynamiikassa, Einsteinin yleiset suhteellisuustasot kenttäyhtälöt ovat yleisesti tunnettuja epälineaarisia osittaisdifferenssiyhtälöitä. Joskus Lagrange-yhtälön soveltaminen muuttuvaan järjestelmään voi johtaa epälineaaristen osittaisten differentiaaliyhtälöiden järjestelmään.

Mikä on ero lineaarisen ja epälineaarisen differentiaaliyhtälön välillä?

• Eroyhtälö, jolla on vain tuntemattoman tai riippuvaisen muuttujan ja sen johdannaisten lineaariset termit, tunnetaan lineaarisena differentiaaliyhtälönä. Sillä ei ole termiä indeksin riippuvaisen muuttujan kanssa, joka on suurempi kuin 1, eikä siinä ole useita sen johdannaisia. Sillä ei voi olla epälineaarisia funktioita, kuten trigonometriset funktiot, eksponentiaalifunktiot ja logaritmiset funktiot riippuvaisen muuttujan suhteen. Mikä tahansa differentiaaliyhtälö, joka sisältää yllä mainitut termit, on epälineaarinen differentiaaliyhtälö.

• Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisut luovat vektoriavaruuden ja differentiaalioperaattori on myös lineaarinen operaattori vektoriavaruudessa.

• Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisut ovat suhteellisen helppoja ja yleisiä ratkaisuja on olemassa. Epälineaarisissa yhtälöissä useimmissa tapauksissa yleistä ratkaisua ei ole ja ratkaisu voi olla ongelmakohtainen. Tämä tekee ratkaisusta paljon vaikeampaa kuin lineaariset yhtälöt.