Ero rationaalisten ja irrationaalisten numeroiden välillä

Termi "numerot" tuo mieleemme, mitä yleensä luokitellaan positiivisiksi kokonaislukuarvoiksi, jotka ovat suurempia kuin nolla. Muihin numeroluokkiin sisältyy kokonaislukuja ja jakeet, monimutkainen ja todelliset luvut ja myös negatiiviset kokonaisluvut.

Laajentamalla numeroiden luokittelua edelleen, kohtaamme järkevä ja irrationaalinen numeroita. Rationaaliluku on luku, joka voidaan kirjoittaa murtona. Toisin sanoen rationaalinen luku voidaan kirjoittaa suhteena kahteen lukuun.

Mieti esimerkiksi numero 6. Se voidaan kirjoittaa kahden numeron suhteena. 6 ja 1, mikä johtaa suhteeseen 6/1. samoin, 2/3, joka on kirjoitettu murtona, on rationaalinen luku.

Voimme siis määritellä rationaalin luvun murtomuodossa kirjoitettuna lukuna, jolloin sekä osoitin (numero yläpuolella) että nimittäjä (numero alhaalla) ovat kokonaislukuja. Siksi määritelmältään jokainen kokonaisluku on myös rationaalinen luku.

Kahden suuren määrän, kuten (129367871)/(547724863) olisi myös esimerkki rationaalisesta numerosta yksinkertaisesta syystä, että sekä osoittaja että nimittäjä ovat kokonaislukuja.

Sitä vastoin mitä tahansa lukua, jota ei voida ilmaista murto-osan tai suhteen muodossa, kutsutaan irrationaaliseksi. Yleisimmin mainittu esimerkki irrationaalisesta numerosta on √2 (1.414213...). Toinen suosittu esimerkki irrationaalisesta numerosta on numeerinen vakio π (3.141592 ... ).

Irrationaalinen luku voidaan kirjoittaa desimaalina, mutta ei murto-osana. Irrationaalisia numeroita ei käytetä usein päivittäisessä elämässä, vaikka niitä esiintyykin numerorivillä. Niiden välillä on ääretön määrä irrationaalisia lukuja 0 ja 1 numerorivillä. Irrationaalisessa numerossa on loputtomat toistumattomat numerot desimaalipilkun oikealla puolella.

Huomaa, että usein mainittu arvo 22/7 vakioksi π on itse asiassa vain yksi arvoista π. Määritelmän mukaan ympyrän kehä jaettuna kahdesti sen säteellä on arvo π. Tämä johtaa moniin arvoihin π, mukaan lukien, mutta ei rajoittuen niihin, 333/106, 355/113 ja niin edelleen1.

Vain neliömäisten numeroiden neliöjuuret; eli täydelliset neliöt ovat rationaalisia.

√1= 1 (Rational)

√2 (Irrationaalinen)

√3 (Irrationaalinen)

√4 = 2 (Rational)

√5, √6, √7, √8 (Irrationaalinen)

√9 = 3 (Rationaalinen) ja niin edelleen.

Lisäksi huomaamme, että vain nth juuret nth voimat ovat rationaalisia. Siten 6th juuri 64 on järkevä, koska 64 on 6th voima, nimittäin 6th voima 2. Mutta 6th juuri 63 on irrationaalista. 63 ei ole täydellinen 6th teho.

Irrationaalien desimaalikuvaus tulee väistämättä kuvaan ja antaa mielenkiintoisia tuloksia.

Kun ilmaisemme järkevä numero desimaalina, sitten joko desimaali on tarkka (kuten 1/5= 0,20) tai tulee olemaan epätarkka (kuten, 1/3 ≈ 0,3333). Kummassakin tapauksessa tulee olemaan ennustettavissa oleva numerokaavio. Huomaa, että kun irrationaalinen luku ilmaistaan ​​desimaalina, niin se on selvästi epätarkka, koska muuten luku olisi järkevä.

Lisäksi numeroita ei ole ennustettavissa. Esimerkiksi,

√2 ≈1,4142135623730950488016887242097

Nyt, rationaalisten lukujen avulla, kohtaamme toisinaan 1/11 = 0,0909090.

Molempien yhtälön (=) ja kolme pistettä (sananheitto) tarkoittaa, että vaikka sitä ei ole mahdollista ilmaista 1/11 tarkalleen desimaalina, voimme silti lähentää sitä niin monella desimaalilla kuin sallitaan päästä lähelle 1/11.

Siten desimaalimuoto 1/11 katsotaan epätarkkoksi. Samoin desimaalimuoto  ¼ mikä on 0,25, on tarkka.

Irrationaalisten numeroiden desimaalimuodossa ne ovat aina epätarkkoja. Jatkamalla esimerkkiä √2, kun kirjoitamme √2 = 1,41421356237… (Huom. Ellipsin käyttö), se tarkoittaa välittömästi, että desimaalin tarkkuudella ei ole desimaalia √2 tulee olemaan tarkka. Edelleen ei ole ennustettavissa olevaa numeroiden mallia. Käyttämällä taas numeeristen menetelmien käsitteitä, voimme jälleen rationaalisesti arvioida niin monta desimaalinumeroa kuin siihen pisteeseen, että olemme lähellä √2.

Mitään huomautuksia rationaalisista ja irrationaalisista numeroista ei voi päättyä ilman pakollista todistusta siitä, miksi √2 on irrationaalinen. Näin tekemällä selvitetään myös klassinen esimerkki a: sta todiste jatkuvastiradiction.

Oletetaan, että √2 on rationaalinen. Tämä johtaa meidät esittämään sen suhteena kaksi kokonaislukua, sanotaan p ja q.

√2 = p / q

tarpeetonta sanoa, p ja q meillä ei ole yhteisiä tekijöitä, sillä jos yhteisiä tekijöitä olisi, olisimme poistaneet ne osoittajasta ja nimittäjästä.

Squaring yhtälön molemmille puolille, päädymme,

2 = s2 / q2

Tämä voidaan kirjoittaa kätevästi nimellä,

p2 = 2q2

Viimeinen yhtälö viittaa siihen p2 on tasan. Tämä on mahdollista vain, jos p itsessään on tasainen. Tämä puolestaan ​​merkitsee sitä p2 on jaettavissa 4. Siten, q2 ja näin ollen q on oltava tasainen. Niin p ja q ovat molemmat jopa, mikä on ristiriidassa alkuperäisen olettamuksemme kanssa, että niillä ei ole yhteisiä tekijöitä. Täten, √2 ei voi olla rationaalinen. Q.E.D.